Rieth József: Anyagvilág - Háttérinformáció

Möbiusz-szalag

TartalomjegyzékhezVilágképem <  Anyag-időszak     

A Möbius-szalag kétdimenziós felület, aminek különlegessége, hogy csak egyetlen oldala és egyetlen éle van.

August Ferdinand Möbius (Németország, Szászország, Schulpforta, 1790. november 17. – Lipcse, 1868. szeptember 26.) német matematikus és csillagász.

Ismertségét egyik felfedezése révén, a róla elnevezett Möbius-szalaggal szerezte. A Möbius-szalag egy nem irányítható, kétdimenziós felület (mely mindössze egyetlen oldallal rendelkezik) az euklideszi térbe ágyazva. Hasonló felfedezést tett Johann Benedict Listing is körülbelül Möbiusszal egyidőben.

Möbius vezette be a homogén koordinátákat a projektív geometria eszköztárába. A projektív geometriában fontos szerepet betöltő Möbius-transzformációk nem tévesztendők össze a számelméletben használatos, szintén Möbius-transzformációnak nevezett művelettel. A számelméletben elért eredményeinek szép bizonyítéka a róla elnevezett Möbius-függvény μ(n) és a Möbius inverziós formula.

Möbius Carl Friedrich Gauss tanítványa volt, később a Lipcsei Egyetem professzora lett.

A szalagot könnyen elkészíthetjük egy papírcsíkból, ha végeit összeragasztjuk úgy, hogy az egyiket 180°-kal elfordítjuk. Az egyoldalúságról úgy győződhetünk meg, ha egy ceruzával hosszirányban a közepén csíkot húzunk, visszajutunk oda, ahonnan elindultunk, bejárva az eredeti fizikai szalag mindkét oldalát. További érdekesség, hogy ha kettévágjuk az imént említett vonal mentén, egy, az eredeti szalagnál kétszer hosszabb (fele olyan széles), immár kétoldalú felületet kapunk. Ha még egyszer hasonló módon körbevágjuk, akkor két egymásba fonódó szalag lesz az eredmény. Ha három részre vágjuk, akkor két egymásba fonódó szalagot kapunk: az egyik újra Möbius-szalag, a másik egy kétszer olyan hosszú szalag, ami kétszer csavart.

A hasonlóan páratlan számszor csavart szalagok darabolása hasonló érdekes eredményt ad. Például a háromszor 180 fokosan csavarodó szalag kettévágásával lóherecsomót kapunk. A végeredményként kapott csavarodások száma kiszámítható a következő egyenletből: 2N + 2 = M, ahol N a csavarodások eredeti száma, és M a csavarodások kapott száma. A Möbius-szalaghoz hasonlóan a páratlan számszor csavart szalagoknak egy élük és egy oldaluk van. A páros számszor csavartak ellenben két oldalúak és két élűek.

A topológiában Möbius-szalag készítése téglalapból

Topológiailag a Möbius-szalag egy olyan [0,1] × [0,1] négyzet, aminek az oldalait a (x, 0) ~ (1 ‒ x, 1) ahol 0 ≤ x ≤ 1, reláció szerint azonosítjuk.

A Möbius-szalag két dimenziós kompakt sokaság (felület, aminek határa van). A nem irányítható felületek standard példája.

Rokon objektumok

Egy hasonlóan furcsa objektum a Klein-palack. Ez megkapható két Möbius-szalagból a két szalag éleinek azonosításával. A Klein-palack nem ágyazható be a három dimenziós euklidészi térbe önátmetszés nélkül.

Egy másik rokon objektum a való projektív sík. Ha a valós projektív síkból kivágunk egy körlapot, akkor Möbius-szalagot kapunk. Megfordítva, ha egy Möbius-szalag határát azonosítjuk egy körlap határával, akkor valós projektív síkot kapunk. Ennek szemléltetéséhez a szalag határát körvonallá kell alakítani. A valós projektív sík szintén nem ágyazható be a három dimenziós euklidészi térbe önátmetszés nélkül.

A Möbius-háló vagy -rács a derékszögű, Descartes-féle koordináta-rendszer rácspontjainak és rácsvonalainak vetülete. A koordináta-rendszer rácspontjai azok a pontok, amelyeknek mindkét koordinátája egész szám. A rácsvonalak a tengelyekkel párhuzamos egyenesek, pontjaik egyik koordinátája egész szám.

Ennél általánosabbak a párhuzamosságot megtartó affin vetületek.

A perspektivikus képet eredményező projektív vetületek az egyik vagy mindkét tengely ideális pontját közönséges pontba, a sík ideális egyenesét közönséges egyenesbe (horizont) transzformálják.

A Möbius-rács a (0,0), (0,1), (1,1), (1,0) pontok képének ismeretében egyszerűen szerkeszthető és tetszőleges osztópontok beiktatásával finomítható.

A gráfelméletben a gráfok egy Mn speciális osztálya szintén Möbiusról kapta a nevét. Ezek egy páros n pontszámú körből származtathatók a szemben fekvő csúcsok összekötésével. Nevét onnan kapta, hogy az M6 = K3,3 kivételével Mn n/2 négyszöget tartalmaz, amelyek egymáshoz csatlakozva Möbius-szalagot formálnak (McSorley 1998). Ezt a gráfosztályt először Richard K. Guy és Frank Harary tanulmányozta (1967).

...és egy kis illúzió...

TartalomjegyzékhezVilágképem <  Anyag-időszak     

-----------------

http://hu.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius-szalag

http://hu.wikipedia.org/wiki/August_Ferdinand_M%C3%B6bius

http://hu.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius-f%C3%A9le_h%C3%A1l%C3%B3